Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân

z = ∫ X ( x ) e a x d x {\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}dx} và z = ∫ X ( x ) x A d x {\displaystyle z=\int X(x)x^{A}dx}

để giải các phương trình vi phân.

Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân

∫ X ( x ) e a x a x d x {\displaystyle \int X(x)e^{ax}a^{x}dx}

Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân

∫ x s Φ   ( s ) d x {\displaystyle \int x^{s}\Phi \ (s)dx}

- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace.

Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.